2 MËT SÈ PH×ÌNG PHP GII CÌ BN
2.2.2 Ph÷ìng ph¡p h m ph¤t iºm ngo i
Trong ph÷ìng ph¡p n y p ÷ñc x¥y düng sao cho nâ li¶n töc khp nìi v
p(x) = 0 n¸u x ∈ D v p(x) > 0 n¸u x /∈ D. (29) Nâi c¡ch kh¡c l n¸u mët ph÷ìng ¡n l khæng ch§p nhªn ÷ñc, th¼ nâ ph£i chàu mët l÷ñng ph¤t p(x), tr¡i l¤i s³ khæng bà ph¤t. Vîi
D = {x : gj (x) ≤ 0, j = 1, ..., m}, v c¡c h m sau thäa m¢n (29) p(x) := m X j=1 max (0, gj(x)). (30) p(x) := m X j=1 max (0, gj(x))2. (300)
Tham sè ph¤t ð ¥y công ÷ñc cho bði h m sè bi¸n r. Công nh÷ ð ph÷ìng ph¡p iºm trong, r l h m sè d÷ìng, li¶n töc vîi måi t > 0.
Nh÷ng ð ¥y, r ìn i»u t«ng, tùc l r(t) > r(t) vîi måi t > t > 0 v
r(t) → +∞ n¸u t → +∞.
Vîi méi t > 0 x²t b i to¡n khæng r ng buëc sau
min{F (x, t) := f (x) + r(t)p(x) : x ∈ Rn}. (P t) M»nh · 2.11. Gi£ sû b i to¡n (Pt) câ nghi»m vîi måi t > 0. Khi â n¸u xi l nghi»m cõa (Pt) (i = 1,2) v 0 < t1 < t2th¼
(1) p(x1) ≥ p(x2) (2) f x1 ≤ f x2
ành lþ 2.12. Vîi c¡c gi£ thi¸t ¢ n¶u ð tr¶n, n¸u d¢y {tk} ìn i»u t«ng d¦n ¸n +∞ v xk l nghi»m cõa (Ptk) th¼ d¢y sè
f xk hëi tö t«ng d¦n ¸n f∗. Ngo i ra måi iºm tö cõa d¢y
xk ·u l nghi»m cõa (P).
Chùng minh. Gåi x∗ l mët nghi»m cõa b i to¡n ban ¦u. Theo t½nh ch§t p(x) = 0 khi x ∈ D, n¶n vîi måi k ta câ
f xk + r(tk)p xk ≤ f (x∗) + r(tk)p(x∗) ≤ f∗. (31) Gi£ sû u∗ l mët iºm tö cõa d¢y
xk v u∗ ∈/ D. Do p(u∗) > 0 v
r(tk) → +∞ n¶n f (u∗) + r(tk)p(u∗) ≥ f∗ khi k õ lîn. Tø ¥y v qua giîi h¤n ð (31), suy ra r¬ng måi iºm tö cõa d¢y
xk ph£i thuëc D. Chó þ r¬ng, do (29) câ f xk ≤ f∗. B¬ng c¡ch qua d¢y con n¸u c¦n, ta câ thº gi£ sû r¬ng lim
k xk = u∗. Do t½nh li¶n töc, tø f xk ≤ f∗, qua giîi h¤n câ f uk ≤ f∗. Nh÷ng u∗ ∈ D. Vªy f (u∗) = f∗. Theo m»nh · tr¶n, d¢y sè
f xk hëi tö t«ng d¦n ¸n f∗. Chó þ 2.13. .
1)Mët i·u ki»n º b i to¡n khæng r ng buëc (Pt) câ nghi»m vîi måi t > 0 l tªp.
{x: f (x) + r(t)p(x) ≤ C},
compact vîi moi hng sè C.
KT LUN
Nh÷ ¢ tr¼nh b y ð tr¶n, b£n luªn v«n cao håc n y nh¬m möc ½ch chõ y¸u giîi thi»u nhúng iºm cì b£n cõa b i to¡n tèi ÷u lçi trong khæng gian Euclid húu h¤n chi·u. Luªn v«n i s¥u v o mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n quy ho¤ch lçi câ r ng buëc v khæng r ng buëc, kh£ vi v khæng kh£ vi.
Nëi dung ch½nh ¢ tr¼nh b y trong b£n luªn v«n bao gçm:
+) Tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v t½nh ch§t cõa gi£i t½ch lçi: Tªp lçi, h m lçi, d÷îi vi ph¥n... Ph¡t biºu mët sè b i to¡n v v½ dö, nâi v· sü tçn t¤i v t½nh ch§t cõa tªp nghi»m, i·u ki»n tèi ÷u. ành lþ Karush-Kuhn- Tucker, ành lþ Kuhn-Tucker.
+) Tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n quy ho¤ch lçi â l ph÷ìng ph¡p ¤o h m v d÷îi ¤o h m nh÷ ph÷ìng ph¡p Newton, ph÷ìng ph¡p Frank-Wolfe. Ph÷ìng ph¡p h m ph¤t nh÷ ph÷ìng ph¡p h m ph¤t iºm trong v ph÷ìng ph¡p h m ph¤t iºm ngo i.
TI LIU THAM KHO
Ti¸ng Vi»t
[1]. Nguy¹n Thà B¤ch Kim, (2008), Gi¡o tr¼nh c¡c ph÷ìng ph¡p tèi ÷u. Lþ thuy¸t v thuªt to¡n, NXB HBK H Nëi.
[2]. é V«n L÷u - Phan Huy Kh£i, (2000), Gi£i t½ch lçi, NXB KHKT H Nëi.
[3]. L¶ Dông M÷u - Nguy¹n V«n Hi·n - Nguy¹n Húu iºn , Nhªp mæn Gi£i t½ch lçi ùng döng, NXB HQG H Nëi (s³ ra).
[4]. Tr¦n Vô Thi»u - Nguy¹n Thà Thu Thõy, (2010), Nhªp mæn Tèi ÷u phi tuy¸n, NXB HQG H Nëi.
Ti¸ng Anh
[5]. Paulo Santos and Susana Scheimberg, An inexact subgradient
algorithm for equilibrium problems, Comp, Appl, Math, Vol,30, 2011, 106- 124.
[6]. Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press.